Logicizam: Definicija, istorija i kritika

U filozofiji matematike logicizam je može se reći jedna od najznačajnijih pozicija koja je isplivala početkom 20. vijeka. U suštini, logicizam je pravac koji tvrdi da se matematika ili dio matematike može svesti na logiku. Tu naravno razlikujemo ekstremni logicizam koji tvrdi da je cjelokupna matematika reducibilna na logičku treminologiju, ali i da su sve matematičke istine u svojoj suštini logičke istine, a matematički dokazi su slučajevi logičke dedukcije.

Gotlob Frege

Frege, jedan od najvećih matematičara i filozofa s kraja 19. vijeka se smatra utemeljivačem logicizma, njegov rad, započet u Begriffsschriftu, a razvijen u Die Grundlagen der Arithmetik (Osnove aritmetike) i Grundgesetze der Arithmetik (Zakoni aritmetike) je imao za cilj da pokaže da se aritmetika može izvesti iz logike. Frege kaže da je razumijevanje matematike koje se svodi na intuiciju neprecizno i podložno greškama, zato je težio ka izgradnji formalnog sistema koji je zasnovan na jasnim logičkim principima.

Frege je logiku predstavio kao univerzalni okvir i smatrao je da se svaka racionalna disciplina može izraziti u okviru iste. Matematičke istine za njega su analitičke, odnosno istinite su po samom značenju termina koji se u njima javljaju, što se razlikuje od Kanta koji kaže da su matematičke istine apriorno sintetičke, odnosno da zahtijevaju određeni vid intuicije.

Frege je razvio formalni sistem koji uključuje kvantifikovanje i teoriju funkcija, koji je bio dosta napredniji kroz koji je pokušao definisati osnovne aritmetičke pojmove, tipa broj, i da izvede aritmetičke zakone iz aksioma klasične logike.

Uopšte ne čudi da je mukotrpan Fregeov intelektualni rad inspirisao Bertrand Rasela, koji je zajedno sa Vajthedom pokušao izvesti cijelu matematiku iz logike u tri toma djela Principia Mathematica. Rasel je otkrio da postoji kontradikcija u Fregeovom sistemu, koja se naziva Raselov paradoks. Raselov paradoks nastaje u momentu kada treba definisati skup svih skupova koji nisu članovi sami sebe. Pitanje koje se postavlja jeste: Da li je definisani skup svih skupova član sam sebe? Ako nije, onda zapravo jeste, jer mora pripadati skupu svih skupova koji nisu članovi samih sebe, ako se kaže da jeste – ne može biti, jer po definiciji ne smije biti član samog sebe.

Bertrand Rasel i Alfred N. Vajthed

Rasel i Vajthed uvode teoriju tipova kako bi riješili Raselov paradoks. To je zapravo hijerarhija skupova koja ograničava mogućnost formiranja skupova na način koji bi doveo do paradoksa. Problem je naravno što je ovime uvedena visoka kompleksnost u sistem i ovaj matematički sistem je praktično neupotrebljiv. Neki aksiomi, poput aksioma beskonačnosti i aksioma izbora, doveli su u pitanje čisto logičku prirodu sistema, jer se čini da su ti aksiomi bili matematički, a ne logički.

Edmund Huserl i Frege

Kada Huserl govori o Fregeu i kritikuje logicizam, najviše se oslanja na odnos između logike i psihologije, i naravno filozofije matematike zajedno s njima. Prema Huserlu, svaki pokušaj da se logički definišu apstraktni koncepti poput brojeva je himeričan. Huserl pokušava pokazati da logicistički pristup nije prirodan, a predlaže intuitivno posmatranje matematike kroz svoju analizu recipročne “jedan-prema-jedan” korelacije koju naziva “kolektivna kombinacija”. Huserl kaže da je kolektivna kombinacija način povezivanja koji je karakterističan za totalitete. U suštini kada brojimo četiri oraha ispred sebe, ne mislimo na to da oni pripadaju klasi grupa koje su međusobno jednake, već intuitivno imamo saznanje o činjenici da vidimo “jedan orah, pa još jedan, pa još jedan i još jedan”.

Gedelova teorema nepotpunosti

Konačno je na red došao Gedel sa svojom monumentalnom teoremom nepotpunosti (dvije) 1931. Godine. Austrijski logičar i matematičar je dokazao dva ograničenja svakog formalnog sistema kroz dvije teoreme nepotpunosti:

Svaki formalni sistem koji može iskazati osnovne aritmetičke iskaze je nužno nepotpun, jer u njemu postoje istiniti iskazi koji se ne mogu dokazati unutar samog sistema.
Konzistencija takvog formalnog sistema se ne može dokazati preko samog sistema.

Dakle, čak i ako se prihvati da su neki dijelovi matematike mogu svesti na logiku, uvijek će postojati matematičke istine koje se ne mogu dokazati unutar tog logičkog sistema, još kad se uzme u obzir da se sama konzistencija takvog sistema ne može dokazati, slijedi da je nemoguće pronaći apsolutan temelj matematike.

Da bi se dokazale Gedelove teoreme nepotpunosti, treba malo ući dublje u analizu. Jedan od načina je da se pozabavimo Gedelovom dijagonalnom lemom vezanom za poseban slučaj, a čiji je opšti oblik dokazao Rudolf Karnap.

Dijagonalna lema omogućava da u matematičkom jeziku sačinimo rečenicu koja će se odnositi na samu sebe, npr. reći za samu sebe da je nedokaziva. Ako bismo napisali takvu rečenicu: “Ova rečenica nije dokaziva”, onda bi to značilo da, upotrebljavajući pravila i aksiome iz formalizovanog sistema, za takvu rečenicu se ne miže reći da je istinita, jer ako je dokaziva, ona nije istinita, a ako je nedokaziva, onda je istinita, a ako je istinita, onda je nedokaziva, itd.

Ako se za matematičku teoriju T kaže da može opisati osnovne osobine prirodnih brojeva, da nema nikakvih kontradikcija, i da je aksiomatizabilna, onda postoje istine u teoriji koje se ne mogu dokazati, jer npr. Može postojati rečenica u T teoriji koja je istinita u standardnom modelu prirodnih brojeva, ali je u isto vrijeme i nedokaziva i neosporiva u T. Npr. ako se vratimo na prethodni primjer nedokazive rečenice, i dođemo u kontradikciju, takva rečenica će biti i neosporiva i nedokaziva u T, stoga je T teorija nepotpuna. Sve ovo je, ilustracije radi, jako blisko paradoksu o lažovu.

Gedelove teoreme su uspješno dovele do zaključka da se klasični, ekstremni logicizam, ne može afirmisati, mada to i dalje nije značilo negiranje bliske srodnosti matematike i logike.